Istnienie Wstęgi Möbiusa kłóci się ze zdrowym rozsądkiem

Wstęga Möbiusa – kształt, który doskonale znamy (z dzieciństwa z zabaw, z dorosłości z logotypów firm i idei) – przez 50 lat stanowiła nie lada zagadkę dla inżynierów, matematyków i fizyków. Choć wydawało się, że można było ją robić dowolnie małą, miała swoje ograniczenia. Złe dobranie jej długości i szerokości powodowało, że się zrywała i nie dawała zakrzywić. To duży problem, bo wstęgę dość często można spotkać w automatyce czy urządzeniach opartych na pracy silnika.
Wstęga Mobiusa Istnienie Wstęgi Möbiusa kłóci się ze zdrowym rozsądkiem
Wstęga Mobiusa / Wikipedia CC BY-SA 3,0 David Benbennick

Sama wstęga to szczególna powierzchnia odkryta przez matematyków dopiero w 1858 roku (m.in. Augusta Möbiusa, stąd jej nazwa) – jednostronna, choć istniejąca w jak najbardziej trójwymiarowym świecie. W naukowym żargonie to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna nieorientowalna z brzegiem, co oznacza, że nie ma na niej pojęcia „wewnątrz”, „na zewnątrz”, „na górze” lub „na dole” kształtu.

Wstęga popularna w przemyśle

Wstęga Möbiusa ma tylko jedną powierzchnię, co kłóci się ze zdrowym rozsądkiem. Ale łatwo to sprawdzić – rysując linię na jej powierzchni, prędzej czy później trafimy ołówkiem na początek linii. Jej model można zrobić, sklejając taśmę (na przykład papierową) końcami przy odwróceniu jednego z końców o 180 stopni względem drugiego. Proste? W praktyce tak, ale jak dokładnie opisać taką jak najbardziej przestrzenną wstęgę, na której znajduje się tylko jedna – po sklejeniu – nieskończona płaszczyzna?

Jej kształt zachwycał już od pierwszych tygodni jej odkrycia – dzisiaj znajdziemy ją w symbolu recyklingu, w logotypie Międzynarodówki Humanistycznej czy w symbolu nieskończoności (związanym z kształtem wstęgi wyłącznie konicydentalnie) oraz w logo sieciowego dysku Google tworzącym niekończącą się pętlę, tym razem w formie trójkąta. Z kształtu korzystają również organizacje pozarządowe – wszystkie różowe, niebieskie, białe czy czarne wstążki symbolizujące walkę o generalnie lepszy ludzki byt są właśnie wstęgami Möbiusa.
Jeśli zaczniemy się nią bawić, pojawiają się kolejne zaskakujące właściwości kształtu. Rozcięta wzdłuż nie spowoduje, że z jednej otrzymamy dwie podobne wstęgi – ta, którą trzymamy w ręku, będzie po prostu dwa razy dłuższa i podwójnie skręcona, choć wciąż z jedną płaszczyzną.

Jeśli przetniemy taśmę skręconą we wstęgę skręconą o 360 stopni (zamiast pierwotnych 180) otrzymamy dwa kręgi połączone, jak ogniwa w łańcuchu.

Poza wzbudzaniem zachwytu bawiących się nią wstęga niemal natychmiast znalazła zastosowanie w mechanice – tam, gdzie dwa koła połączone są taśmą, zastąpienie jej wstęgą Möbiusa zwielokrotnia trwałość taśmy i powoduje jej wolniejsze zużycie z obu naraz, a nie tylko z jednej strony. Stąd chętnie korzysta się z niej wszędzie tam, gdzie koła zamachowe silników potrzebują taśmowego przeniesienia napędu. Zdarza się znaleźć to rozwiązanie zamiast zębatek w rzadkich i przez to drogich szwajcarskich zegarkach. Rzadkich, bo specjaliści od mikromechaniki szybko zorientowali się, że tego kształtu nie da się pomniejszać w nieskończoność. Przy coraz mniejszej długości przy zachowaniu szerokości wstęgi okazuje się, że kształt się zrywa. Od półwiecza matematycznym problemem było znalezienie proporcji, przy jakich można tego uniknąć.

Po latach liczenia

Rozwiązanie zaproponował matematyk z Brown University Richard Schwartz, dzisiaj przyznający się, że od problemu uzależnił się, nie mogąc pracować nad czymkolwiek innym.

„Przez lata próbowałem rozwiązać ten problem i w 2021 r. opublikowałem artykuł przedstawiający obiecujące podejście, które jednak ostatecznie okazało się niewystarczające” – wspomina dzisiaj na łamach naukowych czasopism. Niedawno zaczął więc eksperymentować ze zgniataniem papierowych pasków w nadziei, że kształt 2D będzie łatwiejszy do matematycznego rozwiązania. Kiedy jednak rozciął jedną z tych pętli pod kątem (co było konieczne do rozwiązania problemu optymalizacji), zobaczył coś, czego się nie spodziewał… Dwuwymiarowy papier nie wyglądał jak równoległobok, jak opisał w swojej pierwszej pracy. Był to raczej trapez – kształt o czterech prostych bokach, z których tylko dwa są do siebie równoległe.

Geometria złożonych kształtów pozwoliła na określenie, że stosunek długości do szerokości wstęgi powinien być większy od pierwiastka kwadratowego z trzech (czyli około 1,73).

W ciągu wielu nieprzespanych nocy i przy pomocy kilku kolegów – jak wspomina Schwartz – matematyk poprawił swoje wcześniejsze błędy i doszedł do eleganckiego rozwiązania z pierwiastkiem z trzech, czego przez pół wieku nie dopatrzyli się inni matematycy.
Co zmieni w naszym życiu niedawne odkrycie matematyków? Przeciętny człowiek raczej różnicy nie dostrzeże – wstęga Möbiusa dalej pozostanie fascynującą ciekawostką, która pewnie trafi jeszcze na niejedno logo. Jednak w z pewnością znalezienie odpowiednich proporcji ułatwi tysiącom producentów, projektantów i inżynierów planowanie kolejnych linii produkcyjnych w fabrykach dostarczających nam samochody czy sprzęt AGD. Z pewnością wpłynie na lepsze wykorzystanie materiałów i pośrednio na środowisko naszej planety. Co ciekawe, matematyk, który znalazł rozwiązanie, nie zarobi na nim ani centa. Zgodnie z międzynarodowym prawem nie można opatentować prawa natury ani zasad matematyki. Richard Schwartz może liczyć wyłącznie na zasłużone miejsce w akademickich podręcznikach matematyki.

Tekst pochodzi z 39 (1809) numeru „Tygodnika Solidarność”.


Oceń artykuł
Wczytuję ocenę...

 

POLECANE
Prof. Grzegorz Górski: Czterej Niemcy i Verhofstadt chcą zbudować nowe RWPG Wiadomości
Prof. Grzegorz Górski: Czterej Niemcy i Verhofstadt chcą zbudować nowe RWPG

Rada Wzajemnej Pomocy Gospodarczej była organizacją stanowiącą narzędzie, przy pomocy którego Związek Sowiecki kontrolował ekonomicznie kraje mu podporządkowane. RWPG miała za zadanie tworzyć warunki do „zrównoważonego rozwoju” całego bloku, dzielić wysiłki produkcyjne gospodarek krajów członkowskich w celu jak największej ich efektywności, tworzyć warunki do „wzajemnie korzystnej wymiany handlowej”.

Niemiecki publicysta o eksperymencie w ramach którego w Polsce demokracja ma być przywracana metodami niedemokratycznymi Wiadomości
Niemiecki publicysta o "eksperymencie" w ramach którego w Polsce "demokracja ma być przywracana metodami niedemokratycznymi"

- Wyzwanie dla Polski, ale także dla innych krajów: Rządy liberalne nie mogą rządzić, jeśli odziedziczą struktury autorytarne - pisze na łamach Berliner Zeitung Klaus Bachmann w artykule "Czy Donald Tusk zostanie autokratą, który zreformuje państwo?". Nie jest to jego pierwsza próba wezwania do stosowanie niedemokratycznych metod w Polsce.

Wasylu, a jak to było?. Trudne pytanie do ambasadora Ukrainy z ostatniej chwili
"Wasylu, a jak to było?". Trudne pytanie do ambasadora Ukrainy

Trwa protest polskich kierowców ciężarówek na granicy z Ukrainą. Wbrew dezinformacji, protestujący przepuszczają transporty z pomocą humanitarną i wojskową.

Nie żyje Zdzisław Wróbel, jedno z ukradzionych przez Niemców Dzieci Zamojszczyzny Wiadomości
Nie żyje Zdzisław Wróbel, jedno z ukradzionych przez Niemców Dzieci Zamojszczyzny

W dniu 7 grudnia 2023 r. zmarł Zdzisław Wróbel, długoletni działacz i prezes Koła Miejskiego Polskiego Towarzystwa Turystyczno-Krajoznawczego oraz członek Stowarzyszenia Klubu Idei Tomasza Baty w Chełmku. Był człowiekiem kochającym Polskę. Zwiedził cały kraj i swoją pasją umiejętnie zarażał innych. Przeżył dziewięćdziesiąt jeden lat.

Rzecznik rządu komentuje grafikę PO. To konkrety PiS-u z ostatniej chwili
Rzecznik rządu komentuje grafikę PO. "To konkrety PiS-u"

Zaraz jeszcze sukcesem PO okaże się walka z mafiami VAT-owskimi, więcej niż podwojenie budżetu państwa, obniżka podatku PIT i wiele innych, to konkrety PiSU - zareagował w mediach społecznościowych rzecznik rządu Piotr Müller na grafikę PO z hasłem "Nowy rok zacznie się od wypłaty 800+! I to jest konkret!"

Matczak: Uważam, że PiS szybko wróci, bo niewiele się nauczyliśmy z ostatniej chwili
Matczak: "Uważam, że PiS szybko wróci, bo niewiele się nauczyliśmy"

Prof. Marcin Matczak to prawnik znany głównie z ostrej krytyki poczynań rządu Zjednoczonej Prawicy i bronienia tzw. "wolnych sądów". Na łamach "Gazety Wyborczej" komentując ostatnio aktualną postawę sejmowej większości, stwierdza, że "PiS szybko wróci, bo niewiele się nauczyliśmy".

Kłopoty zdrowotne polskiej gwiazdy. Po prostu zaniemogła z ostatniej chwili
Kłopoty zdrowotne polskiej gwiazdy. "Po prostu zaniemogła"

Edyta Górniak, która jest ikoną polskiej muzyki, wyznała ostatnio, że dopadły ją problemy zdrowotne. Wokalistka miała wyjechać w trasę po Stanach Zjednoczonych. Nie pojawiła się jednak na lotnisku.

Nie zatrzymał się do kontroli drogowej. Ucierpiała policjantka z ostatniej chwili
Nie zatrzymał się do kontroli drogowej. Ucierpiała policjantka

W nocy z czwartku na piątek w Gdańsku doszło do incydentu, w którym ucierpiała policjantka.

Premier Morawiecki ogłosił decyzję ws. zerowego VAT-u na żywność  z ostatniej chwili
Premier Morawiecki ogłosił decyzję ws. zerowego VAT-u na żywność

Premier Mateusz Morawiecki ogłosił w mediach społecznościowych decyzję ws. zerowego VAT-u na żywność.

z ostatniej chwili
[TRANSMISJA ONLINE] Trwa IX Dzień Patrioty połączony z premierą 6. tomu „Dziejów Polski"

Organizowany przez wydawnictwo Biały Kruk dziewiąty już z kolei Dzień Patrioty jest wydarzeniem, które na stałe wpisało się w pejzaż polskiej kultury. Jest to spotkanie z wybitnymi twórcami polskiego życia kulturalnego, artystycznego, społecznego i religijnego, a jego punktem kulminacyjnym jest wręczenie nagrody pt. „Patriota Roku”. Warto podkreślić, że podczas IX Dnia Patrioty odbędzie się także oficjalna premiera szóstego tomu „Dziejów Polski”, w których prof. Andrzej Nowak opisuje lata 1632-1673 w naszej historii.

REKLAMA

Istnienie Wstęgi Möbiusa kłóci się ze zdrowym rozsądkiem

Wstęga Möbiusa – kształt, który doskonale znamy (z dzieciństwa z zabaw, z dorosłości z logotypów firm i idei) – przez 50 lat stanowiła nie lada zagadkę dla inżynierów, matematyków i fizyków. Choć wydawało się, że można było ją robić dowolnie małą, miała swoje ograniczenia. Złe dobranie jej długości i szerokości powodowało, że się zrywała i nie dawała zakrzywić. To duży problem, bo wstęgę dość często można spotkać w automatyce czy urządzeniach opartych na pracy silnika.
Wstęga Mobiusa Istnienie Wstęgi Möbiusa kłóci się ze zdrowym rozsądkiem
Wstęga Mobiusa / Wikipedia CC BY-SA 3,0 David Benbennick

Sama wstęga to szczególna powierzchnia odkryta przez matematyków dopiero w 1858 roku (m.in. Augusta Möbiusa, stąd jej nazwa) – jednostronna, choć istniejąca w jak najbardziej trójwymiarowym świecie. W naukowym żargonie to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna nieorientowalna z brzegiem, co oznacza, że nie ma na niej pojęcia „wewnątrz”, „na zewnątrz”, „na górze” lub „na dole” kształtu.

Wstęga popularna w przemyśle

Wstęga Möbiusa ma tylko jedną powierzchnię, co kłóci się ze zdrowym rozsądkiem. Ale łatwo to sprawdzić – rysując linię na jej powierzchni, prędzej czy później trafimy ołówkiem na początek linii. Jej model można zrobić, sklejając taśmę (na przykład papierową) końcami przy odwróceniu jednego z końców o 180 stopni względem drugiego. Proste? W praktyce tak, ale jak dokładnie opisać taką jak najbardziej przestrzenną wstęgę, na której znajduje się tylko jedna – po sklejeniu – nieskończona płaszczyzna?

Jej kształt zachwycał już od pierwszych tygodni jej odkrycia – dzisiaj znajdziemy ją w symbolu recyklingu, w logotypie Międzynarodówki Humanistycznej czy w symbolu nieskończoności (związanym z kształtem wstęgi wyłącznie konicydentalnie) oraz w logo sieciowego dysku Google tworzącym niekończącą się pętlę, tym razem w formie trójkąta. Z kształtu korzystają również organizacje pozarządowe – wszystkie różowe, niebieskie, białe czy czarne wstążki symbolizujące walkę o generalnie lepszy ludzki byt są właśnie wstęgami Möbiusa.
Jeśli zaczniemy się nią bawić, pojawiają się kolejne zaskakujące właściwości kształtu. Rozcięta wzdłuż nie spowoduje, że z jednej otrzymamy dwie podobne wstęgi – ta, którą trzymamy w ręku, będzie po prostu dwa razy dłuższa i podwójnie skręcona, choć wciąż z jedną płaszczyzną.

Jeśli przetniemy taśmę skręconą we wstęgę skręconą o 360 stopni (zamiast pierwotnych 180) otrzymamy dwa kręgi połączone, jak ogniwa w łańcuchu.

Poza wzbudzaniem zachwytu bawiących się nią wstęga niemal natychmiast znalazła zastosowanie w mechanice – tam, gdzie dwa koła połączone są taśmą, zastąpienie jej wstęgą Möbiusa zwielokrotnia trwałość taśmy i powoduje jej wolniejsze zużycie z obu naraz, a nie tylko z jednej strony. Stąd chętnie korzysta się z niej wszędzie tam, gdzie koła zamachowe silników potrzebują taśmowego przeniesienia napędu. Zdarza się znaleźć to rozwiązanie zamiast zębatek w rzadkich i przez to drogich szwajcarskich zegarkach. Rzadkich, bo specjaliści od mikromechaniki szybko zorientowali się, że tego kształtu nie da się pomniejszać w nieskończoność. Przy coraz mniejszej długości przy zachowaniu szerokości wstęgi okazuje się, że kształt się zrywa. Od półwiecza matematycznym problemem było znalezienie proporcji, przy jakich można tego uniknąć.

Po latach liczenia

Rozwiązanie zaproponował matematyk z Brown University Richard Schwartz, dzisiaj przyznający się, że od problemu uzależnił się, nie mogąc pracować nad czymkolwiek innym.

„Przez lata próbowałem rozwiązać ten problem i w 2021 r. opublikowałem artykuł przedstawiający obiecujące podejście, które jednak ostatecznie okazało się niewystarczające” – wspomina dzisiaj na łamach naukowych czasopism. Niedawno zaczął więc eksperymentować ze zgniataniem papierowych pasków w nadziei, że kształt 2D będzie łatwiejszy do matematycznego rozwiązania. Kiedy jednak rozciął jedną z tych pętli pod kątem (co było konieczne do rozwiązania problemu optymalizacji), zobaczył coś, czego się nie spodziewał… Dwuwymiarowy papier nie wyglądał jak równoległobok, jak opisał w swojej pierwszej pracy. Był to raczej trapez – kształt o czterech prostych bokach, z których tylko dwa są do siebie równoległe.

Geometria złożonych kształtów pozwoliła na określenie, że stosunek długości do szerokości wstęgi powinien być większy od pierwiastka kwadratowego z trzech (czyli około 1,73).

W ciągu wielu nieprzespanych nocy i przy pomocy kilku kolegów – jak wspomina Schwartz – matematyk poprawił swoje wcześniejsze błędy i doszedł do eleganckiego rozwiązania z pierwiastkiem z trzech, czego przez pół wieku nie dopatrzyli się inni matematycy.
Co zmieni w naszym życiu niedawne odkrycie matematyków? Przeciętny człowiek raczej różnicy nie dostrzeże – wstęga Möbiusa dalej pozostanie fascynującą ciekawostką, która pewnie trafi jeszcze na niejedno logo. Jednak w z pewnością znalezienie odpowiednich proporcji ułatwi tysiącom producentów, projektantów i inżynierów planowanie kolejnych linii produkcyjnych w fabrykach dostarczających nam samochody czy sprzęt AGD. Z pewnością wpłynie na lepsze wykorzystanie materiałów i pośrednio na środowisko naszej planety. Co ciekawe, matematyk, który znalazł rozwiązanie, nie zarobi na nim ani centa. Zgodnie z międzynarodowym prawem nie można opatentować prawa natury ani zasad matematyki. Richard Schwartz może liczyć wyłącznie na zasłużone miejsce w akademickich podręcznikach matematyki.

Tekst pochodzi z 39 (1809) numeru „Tygodnika Solidarność”.



Oceń artykuł
Wczytuję ocenę...

 

Polecane
Emerytury
Stażowe